時域有限差分與頻域有限元算法淺析

2016-10-31 by:CAE仿真在線來源:互聯網

以天線的設計為例,天線設計離不開理論分析、數值計算和驗證測試三種手段。隨著高速計算機技術的飛速發展,計算電磁學已成為一門新興的重要學科,它的發展將天線設計推進了一個新的階段。計算電磁學從求解域來說看,有時域和頻域,從求解的精確度可分為數值算法和高頻近似的算法。在天線問題中常用的算法有:矩量法(MOM)、有限元法(FEM)和時域有限差分法(FDTD),數值方法的基本原理就是把連續變量函數離散化,從而建立起收斂的代數方程組,然后用計算機進行求解。本文從中選取兩個典型的算法:時域有限差分(FDTD)和頻域有限元算法(FEM),并對其進行介紹分析。

目前采用時域有限差分算法的商用軟件有CST、XFDTD等。此算法是將麥克斯韋旋度方程的偏微分形式出發,直接在時域進行差分離散得到。

在各向同性線性媒質中,麥克斯韋方程組旋度方程的微分形式為:

算法將空間按立方體進行剖分電場磁場交替排列,如下圖:

電場和磁場在空間交替排列,電磁場的6個分量在空間的取樣點分布在立方體的邊沿和表面中心點上。電場和磁場分離在任何分量上始終相差兩個步長。在時間上電場分量和磁場分量也差半個步長取一樣。

在上述算法中,時間增量Δt和空間增量Δx,Δy和Δz不是相互獨立的,他們的取值需要滿足一定的條件,即:

這就是此算法需要滿足的Courant穩定性條件。

在此條件下差分方程的數值解與原偏微分方程的嚴格解之間的差有界,否則,計算結果將隨著時間步長無限制的寄生增長。除此之外,時域差分算法在對麥克斯韋方程組數值計算還會在網格中引起,相速度隨頻率變化,色散現象,導致色散誤差。如果在模擬空間中采用大小不同的網格或包含不同的介質區域,這時網格尺寸與波長之比將是位置的函數,在不同網格或介質的交界面處將出現非物理的繞射和反射現象,對此也應該進行定量的研究,以保證正確估計FDTD算法的精度。此誤差除了與頻率和網格大小、時間步長有關,還與波的傳播方向有關,具有各向異性。減小網格數目可以有效減小色散誤差。

以HFSS為代表的商用軟件采用了頻域有限元算法(FEM),與時域有限差分算法不同,有限元算法采用四面體元。

HFSS中的三種基函數

它的優點是適用于具有復雜邊界形狀或邊界條件、含有復雜媒質的定解問題。這種方法的各個環節可以實現標準化,得到通用的計算程序,而且有較高的計算精度。HFSS采用自適應網格剖分和加密技術相對來說有效提高了軟件的計算效率,自適應網格剖分根據對場量分布求解后的結果對網格進行增加剖分密度的調整,在網格密集區采用高階插值函數,以進一步提高精度,在場域分布變化劇烈區域,進行多次加密。和時域差分算法相比,有限元算法不需要工程師的先驗知識就能較為準確的得出仿真結果,而且在PCB的仿真中,由于阻抗不匹配導致振鈴時,頻域算法更為合適。

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