什么是CFD中的"矩陣預條件"!

2017-03-30  by:CAE仿真在線  來源:互聯網

任何一個矩陣方程組都可以通過直接求解(高斯消去法或LU分解法)來計算。但是,LU分解之后會把原本稀疏的矩陣變成密集矩陣。所以直接求解法會耗費非常多的計算資源。同時,CFD計算中離散的誤差遠大于矩陣求解的誤差,因此我們沒必要那么精確的計算矩陣方程。只要比離散精度高就可以。

對于稀疏矩陣,通常我們選用迭代求解技術,通常我們估計一個初始值,然后系統的使這個值逼近真實解。如果每次迭代很經濟并且需要很少的迭代次數的話,那么迭代求解就比直接求解經濟的多了。在CFD中,我們通常使用迭代求解技術。

然而,迭代求解器一個眾所周知的弱點就是不是很穩健。雖然迭代求解器可以快速的求解矩陣系統,但是這個缺點導致其在工業應用上收到了嚴重的限制。穩健性和效率可以通過預條件(pre-conditioning)來提高。預條件矩陣M可以有很多不同的選擇,但是通常其滿足一些最低的要求。比如,求解Mx=b需要是非常經濟的,同時,M應該和A接近并且應該是非奇異的。

舉例:我們有矩陣系統:

移項有(注:不要被下面的n和n-1搞暈了,在迭代收斂的時候,n和n-1的phi是相等的,因此下面這個方程就是上面那個方程):

在CFD中,我們稱M即為預條件(預處理)矩陣(Pre-conditioning Matrix)。

一種非常受歡迎的預條件矩陣建立于不完全LU分解上,有關不完全LU分解,coming soon!

Computational Methods for Fluid dynamics. J.H. Ferziger. Page.67.

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